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高考帮数学文_高考数学辅导书推荐知乎
tamoadmin 2024-07-15 人已围观
简介1.学习高等数学需要什么基础。学习它会对高考数学有帮助吗。我是文科的。2.2022年四川高考数学(文科)参考答案及真题汇总(已更新)3.文科高考数学都有哪些类型题 各占多少比重?4.高考有没有哪位大哥能整理一个高考数学(文科)会用到的所有公式给我。。。麻烦了。。。拜托了。。分析法与综合法 一、学习目标 数学能力的核心是思维能力,而思维的形式是多种多样的,如观察、比较、分析、归纳、综合等等。思
1.学习高等数学需要什么基础。学习它会对高考数学有帮助吗。我是文科的。
2.2022年四川高考数学(文科)参考答案及真题汇总(已更新)
3.文科高考数学都有哪些类型题 各占多少比重?
4.高考有没有哪位大哥能整理一个高考数学(文科)会用到的所有公式给我。。。麻烦了。。。拜托了。。
分析法与综合法
一、学习目标
数学能力的核心是思维能力,而思维的形式是多种多样的,如观察、比较、分析、归纳、综合等等。思维过程中要善于展开两翼,这就是分析法和综合法。所谓分析法,就是要不断追索使结论成立的原固,而"因"必须是与题设、定理、公理、公式挂钩。即"由果执因"。所谓综合法就是"由因导果",即是根据已有的条件不断地推算、推理。且推导的方向是"结论"、"所需的结果",这两种方法必须在解题过程中,充分交错,运用得当。前因后果,紧紧相扣。往往使用了这两种方法,可以使矛盾解决,水到渠成。否则就会是盲人骑瞎马,左冲右突,解题杂乱不清。甚至梗塞,于事无补。无论是证明题、计算题或应用题。
二、例题分析
[例1]设函数 在点x0处可导,试求下列各极限的值。
思路分析:
在导数的定义中,增量Δx的形式是多种多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择相应的形式,利用函数 在点x0处可导的条件,可以将已给定的极限恒等形转化为导数定义的结构形式。
解答:
[例2]证明:若函数 在点x0处可导,则函数在点x0处连续。
思路分析
从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略,要证明 在点x0处连续,必须证明 。由于函数在点x0处可导,因此,根据函数在点x0处可导的定义,逐步实现两个转化,一个是趋向的转化,另一个是形式(变为导数定义形式)的转化。
解法:
∴函数 在点x0处连续。
[例3]求函数 在x由1变为1.01时的改变量Δy与dy
解答
反馈
易发现,当Δx→0时,即函数在一点处的微分是函数增量的线性近似值Δy≈dy,这是微分的应用—用于近似计算。
三、练习题
(一)选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)。
1.下列函数中,不存在反函数的是
A.y=x2-2x+3(x≤0)
B.
C.
D.
2.设 ,N={第一或第四象限角},则
A.M=N
B.
C.
D.以上关系都不成立
3.定义在R上的函数f(x)满足:f(2+x)=f(2-x),若方程f(x)=0有且只有三个不等实根,且0是其中之一,则方程的另外两个根必是
A.-2,2
B.2,4
C.1,-1
D.-1,4
4.在复平面内,点A对应复数2,点B对应复数-1+i,将向量 绕点A按顺时针方向旋转90°,得向量 ,则点C对应复数为
A.3+3i
B.1+3i
C.1-3i
D.-1+i
5.在各项都是正数的无穷等比数列{an}中,首项a1=1,公比q≠1,且a2、a3、a5成等差数列,则{an}的各项和为
A.
B.
C.
D.
6.圆C:x2+y2+2x-6y-15=0与直线l:(1+3m)x+(3-2m)y+4m-17=0的交点个数为
A.0
B.1
C.2
D.个数与m的取值有关
7.在三棱台A1B1C1-ABC中,A1B1∶AB=1∶3,点M是侧棱A1A的中点,则截面CMB1把棱台分成上、下两部分
的体积比为
A.
B.
C.
D.
8.设y=f(x)是定义在实数集上的函数,则函数y=f(x-2)与函数y=f(4-x)的图象关于
A.直线x=0对称
B.直线x=1对称
C.直线x=2对称
D.直线x=3对称
9.在直线x-y=0和y=0上分别有一点M、N使M、N和A(3,1)满足|AM| + |MN| + |NA|有最小值时的点M、N的坐标分别是
A.( )
B.
C.(1,3),(2,0)
D.
10.若函数f(x)= 的定义域是实数集R,则实数a的取值范围是
A.R
B.
C.
D.
11.n∈N,二项式(a+b)2n的展开式各项系数中的最大系数一定是
A.奇数
B.偶数
C.不一定是整数
D.是整数,但是奇数还是偶数与n的取值有关
(二)填空题(把答案填在题中横线上)。
12.
13.已知(2x2+4x+3)6=a0+a1(x+1)2+a2(x+1)4+…+a0(x+1)12则a0+a2+a4+a6的值为 。
14.若函数f(x)=(x+a)3,对任意的t∈R,总有f(1+t)=-f(1-t)则f(2)+f(-2)的值为 。
15.如图, 已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC边上,只有一个点Q,且PQ⊥DQ,则
a= .
(三)解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)。
16.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=C,且边长C最大,又知accosA+bccosB<4s(s为ABC的面积)求证:△ABC为锐角三角形。
17.若△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,求证: 。
18.解关于x的不等式
19.已知α∈R,关于x的不等式(1+sinα+cosα)x2-(1+2sinα)x+sinα>0当x∈[0,1]时恒成立,求α的取值范围。
20.求证:函数 的图象是平面内与两定点距离之差的绝对值是常数的点的轨迹。
21.以点A为圆心,以2cosθ(0<θ< )为半径的圆内有一点B,已知|AB|=2sinθ,设过点B且与圆A内切于点T的圆的圆心为M。
(1)当θ取某个值时,说明点M的轨迹P是什么曲线?
(2)点M是轨迹P上的动点,点N是QA上的上的动点,把|MN|的最大值记为f(θ),(不要求写出证明)求f(θ)的取值范围。
参考答案
1—5 B D B A A 6—11 C D D B D B
12、
13、
14、答案:-26
说明:由已知,f(1+t)+f(1-t)=0 (1+t+a)3+(1-t+a)3=0
∴1+a=0,a=-1, ∴f(x)=(x-1)3,则f(2)+f(-2)=-26。
15、
16、
17、
18、
19、
20、
21、
类比与化归思想方法
一、内容提要
在长期的数学实践中人们已经建立了很多概念,很多题式模型,掌握了很多固定的常规通法(解一次、二次方程及不等式,求一些基本初等函数的值域,求圆锥曲线方程等)。而我们面对客观问题,有时要用联想类比的方法,将新的问题化归或注入到某种数学模型中去,然后用常规常法加以解决。以上所述就是数比与化归的思想方法,它也是数学中一种常见的思维策略。比如:计算多面体的体积时往往把它分割几个棱锥、棱柱或棱台,分而求之;解一个较为复杂的不等式,就往往归结到一元一次、一元二次不等式解之。对某个未知的数列求和,可以剖析通项公式,再分别利用等差(比)数列求和公式或裂项法得之。运用类比化归时,却是有意观察、摸清,无意"柳暗花明"(化归成功)。为"化归"而化归是不好的,本卷旨在这方面对考生进行训练考查。
二、例题分析
[例1]把下列命题写成“若p则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题:
(1)当x=2时,x2-3x+2=0;
(2)对顶角相等;
(3)末位数是0的整数,可以被5整除。
思路分析:
按四种命题的定义来写。
解答:(1)原命题:若x=2,则x2-3x+2=0。
逆命题:若x2-3x+2=0,则x=2.
否命题:若x≠2,则x2-3x+2≠0。
逆否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠2。
(2)原命题:若两个角是对顶角,则它们相等。
逆命题:若两个角相等,则它们是对顶角。
否命题:若两个角不是对顶角,则它们不相等。
逆否命题:若两个角不相等,则它们不是对顶角。
(3)原命题:若一个整数末位数是0,则这个整数可以被5整除。
逆命题:若一个整数可以被5整除,则这个整数末位数是0。
否命题:若一个整数末位数不是0,则这个整数不能被5整除。
逆否命题:若一个整数不能被5整除,则这个整数末位数不是0。
[例2]求证:在一个三角形内不可能有两个角是直角。
思路分析:
本题用直接法证明困难,故可考虑用反证法进行论证。
证明:设有可能有两个角都是直角,不妨设A=90°,B=90°,则A+B+C=90°+90°+C>180°,这与A+B+C=
180°矛盾,∴设错误,故三角形内不可能有两个角是直角。
[例3]总结一下初中学过的不等式的基本性质。
答案: 不等式的基本性质:
说明:
1、上面每条性质后面用括号注明性质的名称,其用意是帮助你加深理解和记忆。这些性质到了高中
二年级还要系统学习,如果在高一你就熟练地掌握了不等式的基本性质,那么你的整个数学学习将
少犯错误.
2、上面使用了现代语言符号" "、" ",后面将在"充要条件"一节中学习它,现在" "译成"推出",
而"A B"表示"A B,且B A",即" "译成"等价"较早地熟练使用这些符号,将推进你的数学学习。
三、检测题
1.已知集合A={1,2,3,4,5} B={6,7,8},f:A→B,则满足条件f(1)≥f(2)≥f(3)≥f(4)≥f(5)的映射的个数为
A.3 B.6 C.12 D.21
2.若四面体的六条棱中,共有五条棱长为a,则该四面体的体积的最大值为
A. B. C. D.
3.已知0≤x≤ ,则函数f(x)=3sin 的最小值与最大值分别为
A. B.3, C.,3 D.,
4.设复数Z=2+ai(a∈R), 那么|Z+1-i|+|Z-1+i|的最小值是
A. B. C.4 D.
5.已知数列{an}满足:Sn= ,那么的值为
A.-1 B.1 C.-2 D.2
6.当x∈[0,π]时,y=|sinx|+|cosx|的递增区间是
A.[0,] B.[] C. D.
7.已知是实数,则复数Z对应的点集可能是
A.x轴 B.y轴 C.x轴或y轴 D.以原点为圆心,为半径的圆
8.设函数f(x)=x4-4x3+6x2-4x+1 (x≤1),则f(x)的反函数f-1(x)为
A. B. C. D.
9.已知 ,那么y=2sinx+2cosx+2sin2x-1的最大值是
A.+1 B.-1 C. D.
10.已知a、b∈R+,则下列各式中成立的是
A.cos2θlga+sin2θlgb>lg(a+b)
B.cos2θlga+sin2θlgb<lg(a+b)
C.
D.
11.θ∈(0,2π), 的最小值是
A.2 B. C.4 D.
12. 如图,多面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,A1A、B1B、C1C、D1D都垂直于底面ABCD,且B1=1,C1=A1A=2,D1D=3则多面体体积为
A. B. C.2 D.4
13.定义在R上的函数f(x)是奇函数,又是以2为周期的周期函数,那么f(2001)= 。
14.已知点P在椭圆上,若P到其右准线的距离恰好是到椭圆的两个焦点的距离的等差中项,则点P的横坐标为 。
15.x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,则a的取值范围是 。
16.若 的展开式中,含x的项为第6项,设(1-x+2x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a1+a2+…+a2n= 。
17.
18.以椭圆(a>1)短轴的一个端点B(0,1)为直角顶点,作椭圆的内接等腰直角△ABC,这样的三角形存在吗?若存在,最多能作几个?
19.
20.关于x的方程3x2-(6m-1)x+m2+1=0的两根为α、β,且|α|+|β|=2,求实数m的值。
21.设a>0,a≠1,函数f(x)=loga.
(1)讨论f(x)的单调性,并给予证明。
(2)设g(x)=1+loga(x-3),如果方程f(x)=g(x)有两个不等实根,求a的取值范围。
22.
答案:
1、D
2、A
3、A
4、B
5、D
6、C
7、D
8、B
9、A
10、B
11、C
12、C
13、0
14、x0=
15、用图象法解。1<a≤2。
16、255
17、
18、
19、
20、
21、
22、解:(1)已知f(1)=3,f(-1)=-f(1)=-3,f(2)<4,a、b、c∈Z,
得条件组
学习高等数学需要什么基础。学习它会对高考数学有帮助吗。我是文科的。
每一年的高考试题都具体复习参考的意义,有利于帮助考生了解高考出题方向,下面是我分享的2022全国新高考Ⅰ卷文科数学试题及答案解析,欢迎大家阅读。
2022全国新高考Ⅰ卷文科数学试题及答案解析
2022全国新高考Ⅰ卷文科数学试题还未出炉,待高考结束后,我会第一时间更新2022全国新高考Ⅰ卷文科数学试题,供大家对照、估分、模拟使用。
高考数学必考知识点
圆的标准方程(_-a)2+(y-b)2=r2注:(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程_2+y2+D_+Ey+F=0注:D2+E2-4F>0
抛物线标准方程y2=2p_y2=-2p__2=2py_2=-2py
直棱柱侧面积S=c_h斜棱柱侧面积S=c'_h
正棱锥侧面积S=1/2c_h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi_r2
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1_2+2_3+3_4+4_5+5_6+6_7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角
圆的标准方程 (_-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程 _2+y2+D_+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2p_ y2=-2p_ _2=2py _2=-2py
直棱柱侧面积 S=c_h 斜棱柱侧面积 S=c'_h
正棱锥侧面积 S=1/2c_h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi_r2
圆柱侧面积 S=c_h=2pi_h 圆锥侧面积 S=1/2_c_l=pi_r_l
弧长公式 l=a_r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2_l_r
锥体体积公式 V=1/3_S_H 圆锥体体积公式 V=1/3_pi_r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L是侧棱长
柱体体积公式 V=s_h 圆柱体 V=pi_r2h
高考数学答题窍门
1、审题要慢,答题要快
有些考生只知道一味求快,往往题意未清,便匆忙动笔,结果误入歧途,即所谓欲速则不达,看错一个字可能会遗憾终生,所以审题一定要慢,有了这个“慢”,才能形成完整的合理的解题策略,才有答题的“快”。
2、运算要准,胆子要大
高考没有足够的时间让你反复验算,更不容你一再地变换解题 方法 ,往往是拿到一个题目,凭感觉选定一种方法就动手做,这时除了你的每一步运算务求正确外,还要求把你当时的解法坚持到底,也许你选择的不是最好的方法,但如回头重来将会花费更多的时间,当然坚持到底并不意味着钻牛角尖,一旦发现自己走进死胡同,还是要立刻迷途知返。
3、先易后难,敢于放弃
能够增强信心,使思维趋向,对发挥水平极为有利;另一方面如果先做难题,可能会浪费好多时间,即使难关被攻克,却已没有时间去得那些易得的分数,所以关键时刻,敢于放弃,也是一种明智的选择。有些解答题第一问就很难,这时可以先放弃第一问,而直接使用第一问的结论解决第2问、第3问。
4、先熟后生,合理用时
面对熟悉的题目,自然象吃了定心丸,做起来得心应手,会使你获得好心情,并且可以在最短时间内完成,留下更多的时间来思考那些不熟悉的题目。有些题目需花很多时间却只得到很少分数,有些题目只要花很少时间却有很高的分值。所以应先把时间用在那些较易题或分值较高题目上,最大限度地提高时间的利用率。
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2022年四川高考数学(文科)参考答案及真题汇总(已更新)
高等数学有很多都是高中学习过的,不过刚开始都是从微积分学习的,也就是说高中的很多东西都没有,所以总的来说除微积分部分其他没有多大的用处。如果是高考的话还是老老实实的学习高中的知识吧。高等数学我学习过了,以过来人身份建议你还是一高中的知识为重吧
文科高考数学都有哪些类型题 各占多少比重?
2022年全国高考将在2022年的6月7日举行,而四川高考的数学考试将在6月7日的下午举行,同学们结束了数学考试,应该都很想知道数学的参考答案及试卷真题。等到数学考试结束,我将第一时间为大家整理出四川高考数学参考答案及真题汇总。
同学们如果想要知道自己的考试成绩可以上哪些大学,可以在下方 "输入分数,查看可以上的大学"。
一.2022年四川高考数学(文科)真题
二.2022年四川高考数学(文科)参考答案汇总
高考有没有哪位大哥能整理一个高考数学(文科)会用到的所有公式给我。。。麻烦了。。。拜托了。。
1、集合5分
2、复数5分
3、框图5分
4、圆圆锥曲线22分
5、数列5-12分
6、三角5-12分
7、推理5分
8、函数35分
9、几何10分选做
10、极坐标参数方程10分选做
11、立体几何22分
12、统计概率22分
13、不等式必考10分,选考10分。
14、有15分左右不定题
正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径
余弦定理:a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
sin(A+B)=sinC
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
sin(A-B)=sinAcosB+sinBcosA
sin2A=2sinAcosA
cos2A=2(cosA)^2-1=(cosA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
(sinA)^2+(cosA)^2=1
解三角形大概常用的就这些
概率似乎没有什么现成的公式可以套
立体几何求点面距离常用等积法,构建一个四面体,用另外一对底面和高算出体积再除以所求点面距作为高对应的底面的面积
计算二面角常用三垂线定理,或者就是直接构造,原则是要方便计算,不要构造出来的角每条边都要算半天就得不偿失了
圆锥曲线似乎没有现成的公式,但有一些常用方法,比如设点消点,或者椭圆的时候还可以用参数方程计算
数列就更简单了,一般就是求通项然后证明不等式,不等式就没办法了,我也不能保证每次都证出来,通项常用的方法就是改变下标,比如Sn-S(n-1)=an
直接求不出可以尝试着求倒数的通项,很可能很好求 数学高考基础知识、常见结论详解
二、函数
一、映射与函数:
(1)映射的概念: (2)一一映射:(3)函数的概念:
如:若 , ;问: 到 的映射有 个, 到 的映射有 个; 到 的函数有 个,若 ,则 到 的一一映射有 个。
函数 的图象与直线 交点的个数为 个。
二、函数的三要素: , , 。
相同函数的判断方法:① ;② (两点必须同时具备)
(1)函数解析式的求法:
①定义法(拼凑):②换元法:③待定系数法:④赋值法:
(2)函数定义域的求法:
① ,则 ; ② 则 ;
③ ,则 ; ④如: ,则 ;
⑤含参问题的定义域要分类讨论;
如:已知函数 的定义域是 ,求 的定义域。
⑥对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定。如:已知扇形的周长为20,半径为 ,扇形面积为 ,则 ;定义域为 。
(3)函数值域的求法:
①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如: 的形式;
②逆求法(反求法):通过反解,用 来表示 ,再由 的取值范围,通过解不等式,得出 的取值范围;常用来解,型如: ;
④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;
⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
⑥基本不等式法:转化成型如: ,利用平均值不等式公式来求值域;
⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。
求下列函数的值域:① (2种方法);
② (2种方法);③ (2种方法);
三、函数的性质:
函数的单调性、奇偶性、周期性
单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有:定义法(作差比较和作商比较)
导数法(适用于多项式函数)
复合函数法和图像法。
应用:比较大小,证明不等式,解不等式。
奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数;
f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。
判别方法:定义法, 图像法 ,复合函数法
应用:把函数值进行转化求解。
周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.
应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。
四、图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数
五、反函数:
(1)定义:
(2)函数存在反函数的条件: ;
(3)互为反函数的定义域与值域的关系: ;
(4)求反函数的步骤:①将 看成关于 的方程,解出 ,若有两解,要注意解的选择;②将 互换,得 ;③写出反函数的定义域(即 的值域)。
(5)互为反函数的图象间的关系: ;
(6)原函数与反函数具有相同的单调性;
(7)原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数,它一定不存在反函数。
如:求下列函数的反函数: ; ;
七、常用的初等函数:
(1)一元一次函数: ,当 时,是增函数;当 时,是减函数;
(2)一元二次函数:
一般式: ;对称轴方程是 ;顶点为 ;
两点式: ;对称轴方程是 ;与 轴的交点为 ;
顶点式: ;对称轴方程是 ;顶点为 ;
①一元二次函数的单调性:
当 时: 为增函数; 为减函数;当 时: 为增函数; 为减函数;
②二次函数求最值问题:首先要用配方法,化为 的形式,
Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上,则
时:在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得;
时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上,则
时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得;
时:最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;
有三个类型题型:
(1)顶点固定,区间也固定。如:
(2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外。
(3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数.
③二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程 的两根为 ;则:
根的情况
等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根
充要条件
注意:若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况,可先利用在开区间 上实根分布的情况,得出结果,在令 和 检查端点的情况。
(3)反比例函数:
(4)指数函数:
指数运算法则: ; ; 。
指数函数:y= (a>o,a≠1),图象恒过点(0,1),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。
(5)对数函数:
指数运算法则: ; ; ;
对数函数:y= (a>o,a≠1) 图象恒过点(1,0),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。
注意:(1) 与 的图象关系是 ;
(2)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数,若底数不相同时转化为同底数的指数或对数,还要注意与1比较或与0比较。
(3)已知函数 的定义域为 ,求 的取值范围。
已知函数 的值域为 ,求 的取值范围。
六、 的图象:
定义域: ;值域: ; 奇偶性: ; 单调性: 是增函数; 是减函数。
七、补充内容:
抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型:
① 正比例函数
② ; ;
③ ; ;
④ ;
三、导 数
1.求导法则:
(c)/=0 这里c是常数。即常数的导数值为0。
(xn)/=nxn-1 特别地:(x)/=1 (x-1)/= ( )/=-x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k?f(x))/= k?f/(x)
2.导数的几何物理意义:
k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率。
V=s/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。
3.导数的应用:
①求切线的斜率。
②导数与函数的单调性的关系
一 与 为增函数的关系。
能推出 为增函数,但反之不一定。如函数 在 上单调递增,但 ,∴ 是 为增函数的充分不必要条件。
二 时, 与 为增函数的关系。
若将 的根作为分界点,因为规定 ,即抠去了分界点,此时 为增函数,就一定有 。∴当 时, 是 为增函数的充分必要条件。
三 与 为增函数的关系。
为增函数,一定可以推出 ,但反之不一定,因为 ,即为 或 。当函数在某个区间内恒有 ,则 为常数,函数不具有单调性。∴ 是 为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以上三个关系,用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区间作为单调区间,避免讨论以上问题,也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题,要谨慎处理。
四单调区间的求解过程,已知 (1)分析 的定义域;(2)求导数 (3)解不等式 ,解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式 ,解集在定义域内的部分为减区间。
我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系,才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析,前提条件都是函数 在某个区间内可导。
③求极值、求最值。
注意:极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
f/(x0)=0不能得到当x=x0时,函数有极值。
但是,当x=x0时,函数有极值 f/(x0)=0
判断极值,还需结合函数的单调性说明。
4.导数的常规问题:
(1)刻画函数(比初等方法精确细微);
(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);
(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于 次多项式的导数问题属于较难类型。
2.关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合能力的一个方向,应引起注意。
四、不等式
一、不等式的基本性质:
注意:(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题。
(2)注意课本上的几个性质,另外需要特别注意:
①若ab>0,则 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变。
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论。
③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象),直接比较大小。
④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小
二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
若 ,则 (当且仅当 时取等号)
基本变形:① ; ;
②若 ,则 ,
基本应用:①放缩,变形;
②求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。
当 (常数),当且仅当 时, ;
当 (常数),当且仅当 时, ;
常用的方法为:拆、凑、平方;
如:①函数 的最小值 。
②若正数 满足 ,则 的最小值 。
三、绝对值不等式:
注意:上述等号“=”成立的条件;
四、常用的基本不等式:
(1)设 ,则 (当且仅当 时取等号)
(2) (当且仅当 时取等号); (当且仅当 时取等号)
(3) ; ;
五、证明不等式常用方法:
(1)比较法:作差比较:
作差比较的步骤:
⑴作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。
⑵变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。
⑶判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。
注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。
(2)综合法:由因导果。
(3)分析法:执果索因。基本步骤:要证……只需证……,只需证……
(4)反证法:正难则反。
(5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。
放缩法的方法有:
⑴添加或舍去一些项,如: ;
⑵将分子或分母放大(或缩小)
⑶利用基本不等式,如: ;
⑷利用常用结论:
Ⅰ、 ;
Ⅱ、 ; (程度大)
Ⅲ、 ; (程度小)
(6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元。如:
已知 ,可设 ;
已知 ,可设 ( );
已知 ,可设 ;
已知 ,可设 ;
(7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;
六、不等式的解法:
(1)一元一次不等式:
Ⅰ、 :⑴若 ,则 ;⑵若 ,则 ;
Ⅱ、 :⑴若 ,则 ;⑵若 ,则 ;
(2)一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于零;注:要对 进行讨论:
(5)绝对值不等式:若 ,则 ; ;
注意:(1).几何意义: : ; : ;
(2)解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方法有:
⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;①若 则 ;②若 则 ;③若 则 ;
(3).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。
(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
(6)分式不等式的解法:通解变形为整式不等式;
⑴ ;⑵ ;
⑶ ;⑷ ;
(7)不等式组的解法:分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然后求其交集,即是这个不等式组的解集,在求交集中,通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们的公共部分。
(8)解含有参数的不等式:
解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论:
①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性.
②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论.
③在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△),比较两个根的大小,设根为 (或更多)但含参数,要分 、 、 讨论。
五、数列
本章是高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深入地复习,并在此基础上,突出解决下述几个问题:(1)等差、等比数列的证明须用定义证明,值得注意的是,若给出一个数列的前 项和 ,则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .(2)数列计算是本章的中心内容,利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算,是高考命题重点考查的内容.(3)解答有关数列问题时,经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题,是我们复习应达到的目标. ①函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数,所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.
②分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为 及 ;已知 求 时,也要进行分类;
③整体思想:在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整
体思想求解.
(4)在解答有关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问题抽象化,转化为数学问题,再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用,决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.
一、基本概念:
1、 数列的定义及表示方法:
2、 数列的项与项数:
3、 有穷数列与无穷数列:
4、 递增(减)、摆动、循环数列:
5、 数列{an}的通项公式an:
6、 数列的前n项和公式Sn:
7、 等差数列、公差d、等差数列的结构:
8、 等比数列、公比q、等比数列的结构:
二、基本公式:
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=
10、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数。
11、等差数列的前n项和公式:Sn= Sn= Sn=
当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),Sn=na1是关于n的正比例式。
12、等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)
13、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式);
当q≠1时,Sn= Sn=
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
15、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则
16、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则
17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{an bn}、 、 仍为等比数列。
20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
22、三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法:a/q,a,aq;
四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)
24、{an}为等差数列,则 (c>0)是等比数列。
25、{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。
26. 在等差数列 中:
(1)若项数为 ,则
(2)若数为 则, ,
27. 在等比数列 中:
(1) 若项数为 ,则
(2)若数为 则,
四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。
28、分组法求数列的和:如an=2n+3n
29、错位相减法求和:如an=(2n-1)2n
30、裂项法求和:如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和:如an=
32、求数列{an}的最大、最小项的方法:
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解:
(1)当 >0,d<0时,满足 的项数m使得 取最大值.
(2)当 <0,d>0时,满足 的项数m使得 取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
六、平面向量
1.基本概念:
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2. 加法与减法的代数运算:
(1) .
(2)若a=( ),b=( )则a b=( ).
向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。
以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量 = + , = - , = -
且有| |-| |≤| |≤| |+| |.
向量加法有如下规律: + = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);
+0= +(- )=0.
3.实数与向量的积:实数 与向量 的积是一个向量。
(1)| |=| |·| |;
(2) 当 >0时, 与 的方向相同;当 <0时, 与 的方向相反;当 =0时, =0.
(3)若 =( ),则 · =( ).
两个向量共线的充要条件:
(1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ,使得b= .
(2) 若 =( ),b=( )则 ‖b .
平面向量基本定理:
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 , ,使得 = e1+ e2.
4.P分有向线段 所成的比:
设P1、P2是直线 上两个点,点P是 上不同于P1、P2的任意一点,则存在一个实数 使 = , 叫做点P分有向线段 所成的比。
当点P在线段 上时, >0;当点P在线段 或 的延长线上时, <0;
分点坐标公式:若 = ; 的坐标分别为( ),( ),( );则 ( ≠-1), 中点坐标公式: .
5. 向量的数量积:
(1).向量的夹角:
已知两个非零向量 与b,作 = , =b,则∠AOB= ( )叫做向量 与b的夹角。
(2).两个向量的数量积:
已知两个非零向量 与b,它们的夹角为 ,则 ·b=| |·|b|cos .
其中|b|cos 称为向量b在 方向上的投影.
(3).向量的数量积的性质:
若 =( ),b=( )则e· = ·e=| |cos (e为单位向量);
⊥b ·b=0 ( ,b为非零向量);| |= ;
cos = = .
(4) .向量的数量积的运算律:
·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( +b)·c= ·c+b·c.
6.主要思想与方法:
本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点。
七、立体几何
1.平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。
能够用斜二测法作图。
2.空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面的概念;
会求异面直线所成的角和异面直线间的距离;证明两条直线是异面直线一般用反证法。
3.直线与平面
①位置关系:平行、直线在平面内、直线与平面相交。
②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。
③直线与平面垂直的证明方法有哪些?
④直线与平面所成的角:关键是找它在平面内的射影,范围是{00.900}
⑤三垂线定理及其逆定理:每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如:证明异面直线垂直,确定二面角的平面角,确定点到直线的垂线.
4.平面与平面
(1)位置关系:平行、相交,(垂直是相交的一种特殊情况)
(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。
(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直,一般是依据性质定理,可以证明线面垂直。
(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→
(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法:
①定义法,一般要利用图形的对称性;一般在计算时要解斜三角形;
②垂线、斜线、射影法,一般要求平面的垂线好找,一般在计算时要解一个直角三角形。
③射影面积法,一般是二面交的两个面只有一个公共点,两个面的交线不容易找到时用此法?
具体的公式
://.ggjy.net/xspd/xsbk/200408/815.html
高中数学公式大全
://.xyjy.cn/Article/UploadFiles/200510/20051013100307519.doc
高中数学常用公式及常用结论
高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
, .
2.德摩根公式
.
.
5.集合 的子集个数共有 个;真子集有 –1个;非空子集有 –1个;非空的真子集有 –2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式 ;
(2)顶点式 ;
(3)零点式 .
7.解连不等式 常有以下转化形式
.
8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或 且 ,或 且 .
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取得,具体如下:
(1)当a>0时,若 ,则 ;
, , .
(2)当a<0时,若 ,则 ,若 ,则 , .
10.一元二次方程的实根分布
依据:若 ,则方程 在区间 内至少有一个实根 .
设 ,则
(1)方程 在区间 内有根的充要条件为 或 ;
(2)方程 在区间 内有根的充要条件为 或 或 或 ;
(3)方程 在区间 内有根的充要条件为 或 .
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