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数学数列高考真题_数学数列高考真题总结
tamoadmin 2024-05-22 人已围观
简介1.解:根据等差数列的性质,有S(2n-1)=(2n-1)An。(用文字叙述,即等差数列连续奇数项之和等于项数乘以中间项,这可是高考重点,务必熟悉!)于是An/Bn=(2n-1)An/(2n-1)Bn=S(2n-1)/P(2n-1)=[7(2n-1)+45]/[(2n-1)+3]=(7n+19)/(n+1)=7+12/(n+1)要使An/Bn为整数,则n+1应该是12的约数,又n是正整数,所以n+
1.解:根据等差数列的性质,有S(2n-1)=(2n-1)An。(用文字叙述,即等差数列连续奇数项之和等于项数乘以中间项,这可是高考重点,务必熟悉!)
于是An/Bn=(2n-1)An/(2n-1)Bn=S(2n-1)/P(2n-1)=[7(2n-1)+45]/[(2n-1)+3]=(7n+19)/(n+1)=7+12/(n+1)
要使An/Bn为整数,则n+1应该是12的约数,又n是正整数,所以
n+1=2,3,4,6,12,即n=1,2,3,4,11
故:所求的正整数n的值为1,2,3,4,11。
2.解:因为三个数成等差数列,所以可设为x-d,x,x+d。
由它们和为15,可得(x-d)+x+(x+d)=15,即3x=15,解得x=5
于是这三个数为5-d,5,5+d。
又因为它们得平方和是83,所以(5-d)^2+5^2+(5+d)^2=83,解得:d±2
故所求数列为3,5,7或7,5,3。
3.解:由An=1/[A(n-1)]+1
令n=2,有A2=1/A1+1=1/1+1=2;
令n=3,有A3=1/A2+1=1/2+1=3/2;
令n=4,有A4=1/A3+1=2/3+1=5/3,
故:所求A4的值5/3。
4.解:令Bn=1/An,
则由1/[A(n-1)]+1/[A(n+1)]=2/An ,可得B(n-1)+B(n+1)=2Bn,
即Bn-B(n-1)=B(n+1)-Bn,因此{Bn}是等差数列,设其公差为d。
又B1=1/A1=1,B2=1/A2=3/2,因此d=B2-B1=1/2
于是Bn=B1+(n-1)d=1+(n-1)×1/2=(n+1)/2,那么An=1/Bn=2/(n+1)
故:所求An=2/(n+1)。
5:解:(1)由An=2A(n-1)+2^n-1
令n=4,有A4=2A3+2^4-1,即A4=2A3+15,
将A4=81代入上式,可求得A3=33;
令n=3,有A3=2A2+2^3-1,即A3=2A2+7,
将A3=33代入上式,可求得A2=13;
令n=2,有A2=2A1+2^2-1,即A2=2A1+3,
将A3=13代入上式,可求得A1=5,
故:所求A1,A2,A3的值分别为5,13,33。
(2)令Bn=(An+P)/2^n
则B1=(A1+p)/2=(5+p)/2,B2=(A2+p)/4=(13+p)/4,B3=(A3+p)/8=(33+p)/8。
若{Bn}为等差数列,则2B2=B1+B3,即2×(13+p)/4=(5+p)/2+(33+p)/8,解得:p=-1
以下验证p=-1时,数列{(An+P)/2^n}确实为等差数列。
由An=2A(n-1)+2^n-1,可得An-1=2A(n-1)+2^n-2,即An-1=2[A(n-1)-1]+2^n
将上式两边同时除以2^n,可得:(An-1)/2^n=[A(n-1)-1]/2^(n-1)+1
这就意味着,数列{(An-1)/2^n}是公差d=1的等差数列。
故:所求p的值为-1。
(3)由(2)可知数列{Bn}是公差d=1的等差数列,且易求得B1=(5+p)/2=2
因此Bn=B1+(n-1)d=2+(n-1)×1=n+1,即(An-1)/2^n=n+1,整理得:An=(n+1)2^n+1
故:所求{An}的通项公式为An=(n+1)2^n+1。
等差数列
(1)等差数列的通项公式是:a1+(n-1)d
(2)任意两项,的关系为
(3)从等差数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:,k∈{1,2,…,n}
(4)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)
(5)若m,n,p∈N*,且m+n=2p,则有a(m)+a(n)=2a(p)
(6)若m,n,p∈N*,有(am+an)/2=ap,则ap为am与an的等差中项
(1)等比数列的通项公式是:
若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时,则可把an看作自变量n的函数,点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
(2) 任意两项am,an的关系为
am,an的关系为
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
(4)等比中项:aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。
记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
性质:
①若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;
②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.
(5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1) Sn=n*a1 (q=1)
在等比数列中,首项a1与公比q都不为零.
注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
等比数列在生活中也是常常运用的。
如:银行有一种支付利息的方式---复利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,
再计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利。
按照复利计算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期