抽象函数高考题及答案_抽象函数高考

1.抽象函数是几年级学的

2.怎么学抽象函数

3.如何证明一个函数是不是周期函数

4.关于高一必修一的重点函数题型

5.抽象函数问题的几种求解意识

6.高中高考数学的那些抽象函数怎么学的？好难喔！请会的进进好吗？

1、由 f(x) = 4f（x）f(1) = f(x+1) + f(x-1);

于是：f(x+1) = f(x + 2) + f(x)

得：f(x + 2) = -f(x -1)

即 ：f(x + 3) = - f(x);

于是：f(x+6)=-f(x+3)=f(x)

可知，f(x)为周期为6的周期函数

2、由4f(x)f(y)=4f(y)f(x) ，所以：f（x+y）+f（x-y）= f（x+y）+f（y-x）

所以：f(x) = f(-x)

可知，函数为偶函数

综上，f(2015) = f(2015 - 6* 336) = f(-1)=f(1)=1/4

抽象函数是几年级学的

抽象函数问题的题型综述

一. 求某些特殊值

这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。

例1 定义在R上的函数 满足： 且 ，求 的值。

解：由 ，

以 代入，有 ，

为奇函数且有

又由

故 是周期为8的周期函数，

例2 已知函数 对任意实数 都有 ，且当 时，

，求 在 上的值域。

解：设

且 ，

则 ，

由条件当 时，

又

为增函数，

令 ，则

又令

得

，

故 为奇函数，

，

上的值域为

二. 求参数范围

这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

例3 已知 是定义在（ ）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足 ，试确定 的取值范围。

解： 是偶函数，且在（0，1）上是增函数，

在 上是减函数，

由 得 。

（1）当 时，

，不等式不成立。

（2）当 时，

（3）当 时，

综上所述，所求 的取值范围是 。

例4 已知 是定义在 上的减函数，若 对 恒成立，求实数 的取值范围。

解：

对 恒成立

对 恒成立

对 恒成立，

三. 解不等式

这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“ ”，转化为代数不等式求解。

例5 已知函数 对任意 有 ，当 时， ， ，求不等式 的解集。

解：设 且

则

，

即 ，

故 为增函数，

又

因此不等式 的解集为 。

四. 证明某些问题

例6 设 定义在R上且对任意的 有 ，求证： 是周期函数，并找出它的一个周期。

分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出 （T为非零常数）则 为周期函数，且周期为T。

证明：

得

由（3）得

由（3）和（4）得 。

上式对任意 都成立，因此 是周期函数，且周期为6。

例7 已知 对一切 ，满足 ，且当 时， ，求证：（1） 时， （2） 在R上为减函数。

证明： 对一切 有 。

且 ，令 ，得 ，

现设 ，则 ， ，

而

，

设 且 ，

则

即 为减函数。

五. 综合问题求解

抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“ ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“ ”。

例8 设函数 定义在R上，当 时， ，且对任意 ，有 ，当 时 。

（1）证明 ；

（2）证明： 在R上是增函数；

（3）设 ，

，若 ，求 满足的条件。

解：（1）令 得 ，

或 。

若 ，当 时，有 ，这与当 时， 矛盾，

。

（2）设 ，则 ，由已知得 ，因为 ， ，若 时， ，由

（3）由 得

由 得 （2）

从（1）、（2）中消去 得 ，因为

，

即

例9 定义在（ ）上的函数 满足（1），对任意 都有 ，

（2）当 时，有 ，

（1）试判断 的奇偶性；（2）判断 的单调性；

（3）求证 。

分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。

解：（1）对条件中的 ，令 ，再令 可得

，所以 是奇函数。

（2）设 ，则

，

，由条件（2）知 ，从而有 ，即 ，故 上单调递减，由奇函数性质可知， 在（0，1）上仍是单调减函数。

（3）

抽象函数问题分类解析

我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。

1. 求定义域

这类问题只要紧紧抓住：将函数 中的 看作一个整体，相当于 中的x这一特性，问题就会迎刃而解。

例1. 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是___。

分析：因为 相当于 中的x，所以 ，解得

或 。

例2. 已知 的定义域为 ，则 的定义域是______。

分析：因为 及 均相当于 中的x，所以

(1)当 时，则

(2)当 时，则

2. 判断奇偶性

根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求 与 的关系。

例3. 已知 的定义域为R，且对任意实数x，y满足 ，求证： 是偶函数。

分析：在 中，令 ，

得

令 ，得

于是

故 是偶函数。

例4. 若函数 与 的图象关于原点对称，求证：函数

是偶函数。

证明：设 图象上任意一点为P（ ）

与 的图象关于原点对称，

关于原点的对称点 在 的图象上，

又

即对于函数定义域上的任意x都有 ，所以 是偶函数。

3. 判断单调性

根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。

例5. 如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为5，那么 在区间 上是

A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为

C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为

分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。

图1

例6. 已知偶函数 在 上是减函数，问 在 上是增函数还是减函数，并证明你的结论。

分析：如图2所示，易知 在 上是增函数，证明如下：

任取

因为 在 上是减函数，所以 。

又 是偶函数，所以

，

从而 ，故 在 上是增函数。

图2

4. 探求周期性

这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。

例7. 设函数 的定义域为R，且对任意的x，y有

，并存在正实数c，使 。试问 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现： 满足题设条件，且 ，猜测 是以2c为周期的周期函数。

故 是周期函数，2c是它的一个周期。

5. 求函数值

紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

例8. 已知 的定义域为 ，且 对一切正实数x，y都成立，若 ，则 _______。

分析：在条件 中，令 ，得

，

又令 ，

得 ，

例9. 已知 是定义在R上的函数，且满足： ，

，求 的值。

分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现 是周期函数，显然 ，于是

，

所以

故 是以8为周期的周期函数，从而

6. 比较函数值大小

利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。

例10. 已知函数 是定义域为R的偶函数， 时， 是增函数，若 ， ，且 ，则 的大小关系是_______。

分析： 且 ，

又 时， 是增函数，

是偶函数，

故

7. 讨论方程根的问题

例11. 已知函数 对一切实数x都满足 ，并且 有三个实根，则这三个实根之和是_______。

分析：由 知直线 是函数 图象的对称轴。

又 有三个实根，由对称性知 必是方程的一个根，其余两根 关于直线 对称，所以 ，故 。

8. 讨论不等式的解

求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。

例12. 已知函数 是定义在 上的减函数，且对一切实数x，不等式 恒成立，求k的值。

分析：由单调性，脱去函数记号，得

由题意知(1)(2)两式对一切 恒成立，则有

9. 研究函数的图象

这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。

例13. 若函数 是偶函数，则 的图象关于直线_______对称。

分析： 的图象 的图象，而 是偶函数，对称轴是 ，故 的对称轴是 。

例14. 若函数 的图象过点（0，1），则 的反函数的图象必过定点______。

分析： 的图象过点（0，1），从而 的图象过点 ，由原函数与其反函数图象间的关系易知， 的反函数的图象必过定点 。

10. 求解析式

例15. 设函数 存在反函数， 与 的图象关于直线 对称，则函数

A. B. C. D.

分析：要求 的解析式，实质上就是求 图象上任一点 的横、纵坐标之间的关系。

点 关于直线 的对称点 适合 ，即 。

又 ，

即 ，选B。

抽象函数的周期问题

——由一道高考题引出的几点思考

2001年高考数学（文科）第22题：设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称。对任意 都有 。

（I）设 求 ；

（II）证明 是周期函数。

解析：（I）解略。

（II）证明：依题设 关于直线 对称

故

又由 是偶函数知

将上式中 以 代换，得

这表明 是 上的周期函数，且2是它的一个周期

是偶函数的实质是 的图象关于直线 对称

又 的图象关于 对称，可得 是周期函数

且2是它的一个周期

由此进行一般化推广，我们得到

思考一：设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称，证明 是周期函数，且 是它的一个周期。

证明： 关于直线 对称

又由 是偶函数知

将上式中 以 代换，得

是 上的周期函数

且 是它的一个周期

思考二：设 是定义在 上的函数，其图象关于直线 和 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。

证明： 关于直线 对称

将上式的 以 代换得

是 上的周期函数

且 是它的一个周期

若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”， 还是不是周期函数？经过探索，我们得到

思考三：设 是定义在 上的奇函数，其图象关于直线 对称。证明 是周期函数，且4是它的一个周期。，

证明： 关于 对称

又由 是奇函数知

将上式的 以 代换，得

是 上的周期函数

且4是它的一个周期

是奇函数的实质是 的图象关于原点（0，0）中心对称，又 的图象关于直线 对称，可得 是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到

思考四：设 是定义在 上的函数，其图象关于点 中心对称，且其图象关于直线 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。

证明： 关于点 对称

关于直线 对称

将上式中的 以 代换，得

是 上的周期函数

且 是它的一个周期

由上我们发现，定义在 上的函数 ，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则 是 上的周期函数。进一步我们想到，定义在 上的函数 ，其图象如果有两个对称中心，那么 是否为周期函数呢？经过探索，我们得到

思考五：设 是定义在 上的函数，其图象关于点 和 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。

证明： 关于 对称

将上式中的 以 代换，得

是周期函数

且 是它的一个周期

怎么学抽象函数

抽象函数应该是高中的补充内容

虽然书上没有讲，但高考中却出现了，而且在奥数中是常考内容

抽象函数大体分为：

线性抽象函数

指数抽象函数

对数抽象函数

三角函数抽象函数

冥函数抽象函数

总之，基本初等函数都有抽象函数

如何证明一个函数是不是周期函数

函数其实在初中的时候就已经讲过了，当然那时候是最简单的一次和二次，而整个高中函数最富有戏剧性的函数实际上也就是二次函数，学好函数总的策略是掌握每一种函数的性质，这样就可以运用自如，有备无患了。函数的性质一般有单调性、奇偶性、有界性及周期性。能够完美体现上述性质的函数在中学阶段只有三角函数中的正弦函数和余弦函数。以上是函数的基本性质，通过奇偶性可以衍生出对称性，这样就和二次函数联系起来了，事实上，二次函数可以和以上所有性质联系起来，任何函数都可以，因为这些性质就是在大量的基本函数中抽象出来为了更加形象地描述它们的。我相信这点你定是深有体会。剩下的幂函数、指数函数对数函数等等本身并不复杂，只要抓住起性质，例如对数函数的定义域，指数函数的值域等等，出题人可以大做文章，答题人可以纵横捭阖畅游其中。性质是函数最本质的东西，世界的本质就是简单，复杂只是起外在的表现形式，函数能够很好到体现这点。另外，高三还要学导数，学好了可以帮助理解以前的东西，学不好还会扰乱人的思路，所以，我建议你去预习，因为预习绝对不会使你落后，我最核心的学习经验就是预习，这种方法使我的数学远远领先其它同学而立于不败之地。

综上，在学习函数的过程中，你要抓住其性质，而反馈到学习方法上你就应该预习（有能力的话最好能够自学）

。函数是高考重点中的重点，也就是高考的命题当中确实含有以函数为纲的思想，怎样学好函数主要掌握以下几点。第一，要知道高考考查的六个重点函数，一，指数函数；二，对数函数；三，三角函数；四，二次函数；五，最减分次函数；六，双勾函数Y＝X＋A/X(A＞0)。要掌握函数的性质和图象，利用这些函数的性质和图象来解题。另外，要总结函数的解题方法，函数的解题方法主要有三种，第一种方法是基本函数法，就是利用基本函数的性质和图象来解题；第二种方法是构造函数；第三种方法是函数建模法。要特别突出函数与方程的思想，数形结合思想。

高一函数解题思路

1，首先把握定义和题目的叙述

2，记住一次函数与坐标轴的交点坐标，必须很熟

3，掌握问题的叙述，通法通则是连立方程（当然是有交点的情况）

一般我们解题时 可以先考虑我们学习过与本题目相似的函数的函数,比如本题可以考虑对数函数,帮助我们解决问题,猜测出结论再做,总要方便一些的

关于高一必修一的重点函数题型

证明f（x+T）=f(x)

抽象函数是相对于具体函数而言的,它没有给出具体的函数解析式.所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.近几年高考中也常出现涉及抽象函数的题目,大多考查的是函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性.而在实际教学中我感觉同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以先研究一下抽象函数的周期性问题.

预备知识: 对于函数定义域内的每一个x,若存在某个常数T(T≠0),使f(x+T)= f(x)总成立,则f(x)是周期函数.T是f(x)的一个周期.若T是f(x)的一个周期,则kT（k∈Z且k≠0）也是f(x)的周期

一. 抽象函数周期的求法.

由于抽象函数无具体的解析式,所以应根据周期函数的定义来解决.大致分为以下几个类型:

1.型如f(x+a)=f(x+b)（a≠b）

分析: 用替换思想将条件等式化成定义形式.将原等式中的x用x-a(或x-b)来替换.得f(x-a+a)=f(x-a+b)即 f(x)=f[x+(b-a)]

所以根据周期函数的定义得f(x)是周期函数且b-a是其一个周期.

若用x-b替换x得f(x)=f[x+(a-b)]

所以f(x)是周期函数且a-b是其一个周期.

2.型如f(x)=-f(x+a)（a≠0）

分析: 条件与定义相比多了一个负号,故可用替换和代入的方法变为定义形式。将原等式中的x用x+a替换

得f(x+a)=-f(x+2a)，代入原条件等式得f(x)=-[-f(x+2a)]=f(x+2a)

所以f(x)是周期性函数且2a是其一个周期.

3.型如f(x)=1/ f(x+a) （a≠0）

分析: 与上一类型相仿用替换和代入的方法得到周期函数定义的形式.将原条件等式中的x 用x+a替换得f(x+a)=1/ f(x+2a)代入原等式得f(x)=f(x+2a)

所以f(x)是周期函数,2a是其一个周期.

从以上可发现求周期，主要是用替换与代入的思想将原条件等式化成定义的形式得到周期.

二. 抽象函数周期性与函数的奇偶性,对称性的关系.

2001年全国高考的第22题第2问就涉及这方面的知识,仔细分析发现其结论可推广,在很多函数小题中有灵活运用.

1.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.

条件B: f(x)关于x=a对称

条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.

结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.

证明: ①已知A、B→ C （2001年高考第22题第二问）

∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)

又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)

∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是其一个周期

②已知A、C→B

∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)

又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)

∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称

③已知C、B→A

∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)

又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)

∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数

看来偶函数性质加上对称性可推出同期性。那么奇函数是不是也可以呢？经分析可得：

2.定义在R上的奇函数f(x)关于x=a对称，则f(x)是周期函数，4a是其一个周期。

证明：∵定义在R上的奇函数f(x) ∴f(-x)=-f(x)

又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)

∴f(x)=-f(x+2a)再根据周期求法中的第二类型可得f(x)=f(x+4a) （替换+代入）故f(x)是周期函数，4a是其一个周期。

奇函数本身是一个中心对称图形，关于原点对称那么若f(x)关于x轴上另一点线中心对称，再加对称性是否也可推出周期性吗？经分析可得：

3 .f(x)关于(a、0)成中心对称且f(x)关于x=b成轴对称（a≠b），则f(x)是周期函数且4(b-a)是其一个周期。

若f(x)关于x轴上的两个点成中心对称呢？

4.定义在R上的f(x)关于（a、0）和（b、0）都成中心对称则f(x)是周期函数且2(b-a) 是一个周期。

证明：∵定义在R上的f(x)关于（a、0）成中心对称∴f(-x)=-f(x+2a)

又∵定义在R上的f(x)关于（b、0）成中心对称∴f(-x)=-f(x+2b)

∴f(x)是周期函数且2(b-a) 是其一个周期

将原条件换成关于x=a，x=b对也行，结论成立。

综上可知函数的周期性、对称性、奇偶性之间的关系相当紧密，灵活运用可简化题目难度。

例1． f(x) 是R上的奇函数f(x)=- f(x+3) ，x∈[0，3/2]时f(x)=x，则 f(2003) =？

解：方法一 ∵f(x)=- f(x+3) （替换、代入）∴f(x)= f(x+6)

∴6是f(x)的一个周期 f(x)

∴f(2003)= f(334*6-1)=f(-1)=-f(1)=-1

方法二∵f(x)=-f(x+3)，f(x)是奇函数

∴f(-x)=f(x+3) ∴f(x)关于x=3/2对称 又∵f(x)是奇函数

∴6是f(x)的一个周期，以下与方法一相同。

例2． f(x)是R上的偶函数，f(1-x )=f(x+1)，x∈[-1，0]时 f(x)=Log0.5（-x）则f(2003)=？

解：∵ f(x)是偶函数，f(1-x)=f(x+1)（即f(x)关于x=1对称）

∴根据结论1得2是f(x)的一个周期

∴ f(2003)=f(2*1002-1)=f(-1)= Log0.5（1）=0

例3． f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。求a的值。

解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称

∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称

∴根据结论3得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0)

又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0)

又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6) ∴a =6

抽象函数问题的几种求解意识

函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。

例：设y=f(x)是定义在区间〔-1，1〕上的函数，且满足条件：

(i)f(-1)＝f(1)＝0；

(ii)对任意的u,v∈〔-1，1〕，都有—f(u)-f(v)—≤—u-v—。

(Ⅰ)证明：对任意的x∈〔-1，1〕，都有x-1≤f(x)≤1-x；

(Ⅱ)证明：对任意的u,v∈〔-1，1〕，都有—f(u)-f(v)—≤1。

解题：

(Ⅰ)证明：由题设条件可知，当x∈〔-1，1〕时，有f(x)=f(x)-f(1)≤—x-1—=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x.

(Ⅱ)证明：对任意的u,v∈〔-1，1〕，当—u-v—≤1时，有—f(u)-f(v)—≤1

当—u-v—>1，u·v<0,不妨设u<0，则v>0且v-u>1,其中v∈(0，1〕，u∈〔-1，0)

要想使已知条件起到作用，须在〔-1，0)上取一点，使之与u配合以利用已知条件，结合f(-1)＝f(1)＝0知，这个点可选-1。同理，须在(0，1〕上取点1，使之与v配合以利用已知条件。所以，—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—＋—f(v)-f(1)—≤—u+1—+—v-1—=1+u+1-v=2-(v-u)<1

综上可知，对任意的u,v∈〔-1，1〕都有—f(u)-f(v)—≤1.

点评：有关抽象函数问题中往往会给出函数所满足的等式或不等式，因此在解决有关问题时，首先应对所要证明或求解的式子作结构上的变化，使所要证明或求解的问题的结构与已知的相同。如本题未给出函数y=f(x)的解析表达式，而给出了一组特定的对应关系f(-1)=f(1)=0，以及两个变量之差的绝对值不小于对应的函数值之差的绝对值的一般关系。在(1)的证明中，利用f(1)=0,把f(x)改写成—f(x)—＝—f(x)-f(1)—；在(2)的证明中，利用f(-1)＝f(1)＝0，把—f(u)-f(v)—改写成—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—＋—f(v)-f(1)—，这些变形起了重要的作用，因为是这些变化创造了使用条件的机会，也创造了解决问题的捷径。

另外，有关抽象函数问题中所给的函数性质往往是对定义域内的一切实数都成立的，因此根据题意，将一般问题特殊化，选取适当的特值(如令x=1，y＝0等)，这是解决有关抽象函数问题的非常重要的策略之一。

总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难奏效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，同时在运用这些策略时要做到密切配合，相得益彰。

高中高考数学的那些抽象函数怎么学的？好难喔！请会的进进好吗？

抽象函数问题是指没有以显性形式给出函数解析式，只给出函数记号及其满足的相关条件（如函数的定义域、经过某些特殊点、部分图象特征、某些运算性质等）的函数问题。它是高中数学函数部分的难点，也是与大学高等数学的衔接点，从而也就成为了高考中的一个热点与难点。但很多学生对这类问题颇感困惑，不知从何下手，本文总结了几条求解此类问题的思维意识，以期使学生的思维具有较好的方向性和目的性，从而提高解题能力。一、特殊化意识认真观察与分析抽象函数问题中的已知与未知的关系，巧妙地对一般变量赋予特殊值，或把函数赋予特殊函数等，从而达到解决问题的目的，这是常用的思维意识。 1、赋特殊值 例1. 设函数，对任意实数、满足。（1）求证：；（2）求证：为偶函数；（3）已知在上为增函数，解不等式。证明：（1）令，得，故；令，得，故。（2）令，得；令，得，所以，即为偶函数。（3），即，或，由（2）和在上为增函数，可得，解得且。 2、赋特殊函数 例2. 对于任意的函数，在同一个直角坐标系中，函数与函数的图像恒（ ）（A）关于x轴对称（B）关于直线对称（C）关于直线对称（D）关于y轴对称解：取函数，则，这两个函数是同一个函数，它们的对称轴为，故选（B）。二、递推意识根据题目中所给出的或推出的函数方程，运用递推的思想，逐步递推，达到目的。 例3. 已知是定义在R上的函数，，且对于任意都有，若________。解：由，和，从而由题设有，。故。即，所以是以1为周期的周期函数。又，所以。三、换元意识根据题目结构特点及欲证的结论，将题中的某些量替换成所需的量（注意：应使函数的定义域不发生改变，有时还需要作几次相应的替换），得到一个或几个方程，然后设法从中求其解。 例4. 若函数的定义域为，求函数的定义域。解：设，因为的定义域为，所以，则的定义域是。又令得即的定义域是。四、化归意识有些抽象函数与函数的单调性、奇偶性、对称性等性质联系密切，求解这类问题应充分理解题意，综合运用函数知识和函数思想，将其转化到熟悉的问题中来。 例5. 已知定义在R上的函数满足：（1）对于任意都有；（2）当时，，且。求在上的最大值和最小值。解：任取，由条件（1）得，所以，因为，由条件（2）得，所以，所以在上单调递减。在（1）中令，得，所以，再令，得，所以，从而为奇函数，因此，上的最大值为，最小值为。五、类比意识即通过联想符合题设条件的特殊函数，将其相关性质或特征类比推广到抽象函数，并予以证明与应用。 例6. 设函数的定义域为R，对于任意实数m、n，总有，且。（1）求的值；（2）判断在R上的单调性，并证明你的结论；（3）设，，a、b、c，a、b不同时为零，若，确定实数a、b、c三者之间的关系。分析：根据所给条件，易联想到符合题设的指数函数，从而问题（1）、（2）的求解方向就十分明确了，当然这只是猜测，还需要严格证明。解：（1）因为对于任意实数m、n总有，所以令，得，又时，，故，从而有。（2）首先注意到，当时，，从而，设，则，即，故是R上单调递减函数。（3）由，知，从而，它表示单位圆的内部；由，知；而，故直线和圆的内部没有公共点，即直线和圆相切或相离，从而有。

函数性质你都是记的吧？每一个性质都去想想为什么，不要怕耗费时间，这些问题解决了，提到某条性质，你思考一下就可以自信的说对，那么这些函数都没什么可怕的了。在整个高中课程中，抽象函数的考察并不复杂，把基本的函数理解透彻，就可以不变应万变了。恭祝你的成绩有效提高！